【金融工学入門】金利モデルと債券価格をわかりやすく徹底解説｜デュレーション・イールドカーブ・Vasicek/CIRモデル

債券や金利は、株式市場と違って動きが読みづらく、複雑な数学モデルが使われる領域です。
本記事では、債券価格の決まり方から、金利モデル（Vasicek、CIR）まで、金融工学の視点で体系的に解説します。

また、社債やスワップ市場など「実務でどう使われているのか」まで理解できる構成です。

1. 債券価格の決まり方

① 債券の基本：クーポンと割引現在価値

債券は、将来のキャッシュフロー（利息＝クーポン ＋ 元本返済）を現在価値に割り引くことで価格が決まります。

債券価格は以下のように表されます：

債券価格＝将来のクーポンの現在価値＋満期時の元本の現在価値

金利が上昇すれば現在価値が下がり、債券価格は下落します。
逆に金利が下がれば、債券価格は上昇します。

• 金利 ↑ → 債券価格 ↓
• 金利 ↓ → 債券価格 ↑

この「逆相関」が債券の最重要ポイントです。

② デュレーションとは？（債券の値動きの敏感度）

デュレーションとは、債券価格が金利変動にどれだけ反応するかを示す指標です。
株式の「ベータ」に相当する概念と考えると直感的です。

• デュレーションが長い → 金利変動に敏感（長期国債など）
• デュレーションが短い → 金利変動に鈍い（短期債券など）

例：

• デュレーション 10年の債券は、金利が1%上昇すると価格が約10%下落
• デュレーション 2年なら、下落幅は2%程度

金利リスクを測る物差しがデュレーションです。

③ 利回り曲線（イールドカーブ）とは？

イールドカーブは、債券の「期間」と「利回り」をプロットした曲線です。
通常は以下のような形をとります。

• 右肩上がり：長期ほど利回りが高い（通常時）
• フラット：景気転換期
• 逆イールド：長期利回りが短期より低い → 不況の前兆ことが多い

投資家はイールドカーブを用いて、景気見通し、金利政策、債券の割高/割安を判断します。

2. 金利モデル（入門）

① なぜ金利は“確率過程”でモデル化されるのか？

株価と同様に、金利も将来が不確実であり、ランダムに動く性質があります。
よって金融工学では「金利そのものを確率過程としてモデル化」します。

理由：

• 将来の金利を正確に予測することは不可能
• 債券価格やスワップ価格は金利に大きく左右される
• 変動する金利を前提にしないと正しく価格付けできない

金利の確率モデルを使うことで、債券やデリバティブの適正価格を計算できるようになります。

② Vasicek モデル（最も基本的な金利モデル）

Vasicekモデルは、金利が「平均へ回帰する動きをする」と仮定します。

• 金利は上下しながら徐々に“長期平均”へ戻っていく
• 確率的に変動する（ランダムウォーク＋平均回帰）

金利の暴走（無限に上昇・下降）が起きにくいというメリットがあります。

③ CIRモデル（より実務的な金利モデル）

CIRモデルは、Vasicekモデルを改良した金利モデルです。

• 金利がマイナスになりにくい性質を持つ
• 金利が低いときは変動が小さくなる（現実をよく説明）
• 金利が高いときは変動が大きくなる

CIRモデルは、国債・スワップの価格付けでよく使われる実務的なモデルです。

3. 実務ではどう使われているか？

① 社債の価格決定

企業が発行する社債の価格は、国債利回り＋信用スプレッドで決まります。

• 国債利回り → 金利モデルで計算
• 信用スプレッド → 企業の信用リスクを加味

金利モデルは「自然金利（基礎部分）」を作る役割を担い、そこに企業固有のリスクを上乗せして価格が決まります。

② スワップ市場（世界最大の金利市場）

金利スワップとは、固定金利と変動金利を交換する契約です。
スワップレートは将来の金利の期待値で構成されるため、金利モデルが価格決定に不可欠です。

• 固定金利側の価値 ← 割引現在価値
• 変動金利側の価値 ← 金利モデルで予測された将来の金利

金利スワップは企業の借入リスク管理に広く利用されています。

③ 企業の資金調達（長期の債務管理）

• 借入金利リスクの管理
  → 金利スワップ・金利オプションを利用
• 社債発行の適正タイミング判断
  → イールドカーブの状況を分析
• 設備投資・M&Aの資金計画
  → 長期金利の予測が必須

企業は金利モデルを用いて「どのタイミングで借りるか・返すか・固定化するか」を判断しています。

まとめ

金利と債券は、金融工学の中でも実務色の強い分野です。
本記事では以下のポイントを押さえました。

• 債券価格は将来キャッシュフローの現在価値で決まる
• デュレーションは金利感応度を測る重要指標
• イールドカーブは景気・金利政策を反映する
• 金利は予測困難なため“確率過程”でモデル化される
• Vasicek/CIRモデルは金利の変動を再現する代表的モデル
• 社債価格、スワップ、企業の資金調達など実務で幅広く活用されている

次の記事では、確率過程とモンテカルロシミュレーションについて解説し、金融工学における数値計算の実例を紹介します。